LuasPersegi, Persegi Panjang, dan Segitiga 1. Persegi Pada gambar di atas, tampak akuarium yang berbentuk kubus. Jika panjang sisinya 6 dm, volume akuarium tersebut adalah Tabung merupakan sebuah prisma dengan alas berbentuk lingkaran. Tabung memiliki tiga sisi yaitu sisi atas, sisi bawah, dan sisi lengkung. Perhatikanpersegi panjang pada gambar di bawah ini! F4 = 5 N F3 = 8 N 40 cm 20 cm dikerjakan gaya pada titik A, B dan C. Latihan Soal 1. Sebuah plat berbentuk bujur sangkar mempunyai sisi 0,18 m dan sumbu putar melalui titik O seperti tampak pada gambar! Tentukan besar momen gaya terhadap titik O jika diketahui F1 = 28 N, F2 = 16 N dan F3 Sebuahakuarium berbentuk prisma dengan alas persegi dan panjang rusuk alasnya tidak lebih dari 60 cm. Jika diketahui tinggi akuarium 40 cm, volume akuarium yang mungkin adalah liter. SD Matematika Bahasa Indonesia IPA Terpadu Penjaskes PPKN CaraMenghitung Luas, Volume, dan Keliling Balok. Balok adalah benda yang berbentuk persegi panjang dengan kedua ujung berbentuk persegi. Balok memiliki 6 buah permukaan yaitu sisi depan dan belakang, sisi atas dan bawah, dan 2 buah sisi ujung (kiri dan kanan). Setiap pasang sisi memiliki ukuran yang sama. . anestindri28 anestindri28 Matematika Sekolah Menengah Pertama terjawab alas sebuah aquarium berbentuk persegi panjang dengan panjang 1 meter dan lebar 0,5 meter ,jika 2/3 bagian aquarium itu berisi air sebanyak 200 liter ,maka tinggi aquarium itu adalah... Iklan Iklan hanifahputri20 hanifahputri20 2/3V = 200 liter = 200 dm³ = 200000 cm³V = 200000x3/2 = 300000 cm³V = p x l x t t = V/p x l = 300000/ 100x 50 = 60 cmt = 60 cm Iklan Iklan martinafransisc martinafransisc =pxlxt200 =1x0,5xt =200 1x0,5 =? Iklan Iklan Pertanyaan baru di Matematika harga 2 kg bawang merah adalah 50 000 maka harga 5 kg bawang merah adalah​ Sebuah proyek direncanakan selesai dalam waktu 25 hari proyek di percepat 5 hari tambahan pekerja yang di perlukan adalah A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 8. lukislah sudut 30°​ Tentukan lah banyaknya permutasi yang terjadi jika akan di susun 3 huruf dari abjad Bentuk paling sederhana dari 6a + 2b - 1 + a – b + 9 adalah … Sebelumnya Berikutnya Iklan alas sebuah akuarium berbentuk persegi panjang dengan panjang 1 meter dan lebarnya 0,5 2per3 bagian akuarium itu berisi air sebanyak 200 liter,hitunglah tinggi akuarium Tinggi akuarium = 6 meter Pembahasan soal Ujian Nasional UN SMA bidang studi matematika IPA tentang Aplikasi Turunan dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan maksimum dan minimum. 1. UN 2005 Kawat sepanjang 120 m akan dibuat kerangka seperti pada gambar dibawah ini. Agar luasnya maksimum panjang kerangka p tersebut adalah... A. 16 m B. 18 m C. 20 m D. 22 m E. 24 m Pembahasan Persamaan kerangka 3p + 4l = 120 4l = 120 − 3p l = 30 − \\frac{3}{4}\p Persamaan luas L = p × 2l L = p × 2 30 − \\frac{3}{4}\pL = 60p − \\frac{3}{2}\p2 Luas akan maksimum jika L' = 0 60 − 3p = 0 ⇒ p = 20 Jadi, panjang kerangka agar luas maksimum adalah 20 m. Jawaban C 2. UN 2005 Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam dengan biaya per jam \\mathrm{\left 4x-800+\frac{120}{x} \right }\ ratus ribu rupiah. Agar biaya minimum, produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu... A. 40 jam B. 60 jam C. 100 jam D. 120 jam E. 150 jam Pembahasan Biaya per jam 4x − 800 + \\mathrm{\frac{120}{x}}\ Biaya untuk x jam Bx = 4x − 800 + \\mathrm{\frac{120}{x}}\x Bx = 4x2 − 800x + 120 Biaya akan minimum jika B'x = 0 8x − 800 = 0 ⇒ x = 100 Jadi, waktu yang diperlukan agar biaya minimum adalah 100 jam. Jawaban C 3. UN 2005 Persamaan gerak suatu partikel dinyatakan dengan rumus \\mathrm{x=ft=\sqrt{3t+1}}\ s dalam meter dan t dalam detik. Kecepatan partikel pada saat t = 8 detik adalah... A. \\frac{3}{10}\ m/detik B. \\frac{3}{5}\ m/detik C. \\frac{3}{2}\ m/detik D. 3 m/detik E. 5 m/detik Pembahasan ft = \\mathrm{\sqrt{3t+1}}\ ⇒ f 't = \\mathrm{\frac{3}{2\sqrt{3t+1}}}\ vt = \\mathrm{\frac{df}{dt}}\ vt = f 't = \\mathrm{\frac{3}{2\sqrt{3t+1}}}\ v8 = \\mathrm{\frac{3}{2\sqrt{ v8 = \\frac{3}{10}\ Jadi, kecepatan partikel pada t = 8 adalah \\frac{3}{10}\ m/detik Jawaban A 4. UN 2006 Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas dengan kecepatan awal Vo m/detik. Tinggi peluru setelah t detik dinyatakan dengan fungsi \\mathrm{ht=100+40t-4t^{2}}\. Tinggi masksimum yang dapat dicapai peluru tersebut adalah... A. 160 m B. 200 m C. 340 m D. 400 m E. 800 m Pembahasan ht = 100 + 40t − 4t2 ⇒ h't = 40 − 8t Tinggi peluru akan maksimum, jika h't = 0 40 − 8t = 0 ⇒ t = 5 Jadi, tinggi maksimum peluru dicapai pada saat t = 5, dengan tinggi maksimumnya adalah h5 = 100 + 405 − 452 h5 = 100 + 200 − 100 h5 = 200 Jawaban B 5. UN 2006 Suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya \\mathrm{4x-160+\frac{2000}{x}}\ ribu rupiah per hari. Biaya minimum per hari penyelesaian pekerjaan tersebut adalah... A. Rp B. Rp C. Rp D. Rp E. Rp Pembahasan Biaya per hari \\mathrm{\left 4x-160+\frac{2000}{x} \right }\ Biaya x hari Bx = \\mathrm{\left 4x-160+\frac{2000}{x} \right }\x Bx = 4x2 − 160x + 2000 Biaya akan minimum jika B'x = 0 8x − 160 = 0 ⇒ x = 20 Jadi, biaya akan minimum jika pekerjaan diselesaikan dalam 20 hari, dengan biaya minimum per hari = 4x − 160 + \\mathrm{\frac{2000}{x}}\ = 420 − 160 + \\frac{2000}{20}\ = 20 ribuan rupiah Jawaban - 6. UN 2006 Luas permukaan balok dengan alas persegi adalah 150 cm2. Agar diperoleh volume balok yang maksimum, panjang alas balok adalah... A. 3 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 15 cm E. 25 cm Pembahasan Karena alas berbentuk persegi maka p = l L = 150 2pl + pt + lt = 150 pl + pt + lt = 75 p2 + pt + pt = 75 p = l 2pt = 75 − p2 t = \\mathrm{\frac{75-p^{2}}{2p}}\ V = p. l. t V = p2t p = l V = p2\\mathrm{\left \frac{75-p^{2}}{2p} \right }\ V = \\frac{75}{2}\p − \\frac{1}{2}\p3 Volume akan maksimum, jika V' = 0 \\frac{75}{2}\ − \\frac{3}{2}\p2 = 0 75 − 3p2 = 0 ⇒ p = 5 Jadi, volume akan maksimum jika panjang balok 5 cm. Jawaban B 7. UN 2007 Perhatikan gambar ! Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum jika koordinat titik M adalah... A. 2, 5 B. 2, \\frac{5}{2}\ C. 2, \\frac{2}{5}\ D. \\frac{5}{2}\, 2 E. \\frac{2}{5}\, 2 Pembahasan Cara I Persamaan garis yang memotong sumbu-x di 4, 0 dan memotong sumbu-y di 0, 5 adalah 5x + 4y = 5 . 4 5x + 4y = 20 4y = 20 − 5x y = 5 − \\frac{5}{4}\x L = x . y L = x\\mathrm{\left 5-\frac{5}{4}x \right }\ L = 5x − \\frac{5}{4}\x2 Luas akan maksimum, jika L' = 0 5 − \\frac{5}{2}\x = 0 ⇒ x = 2 5x + 4y = 20 52 + 4y = 20 ⇒ y = \\frac{5}{2}\ M = 2, \\frac{5}{2}\ Cara II Sebuah garis dengan titik potong sumbu-x a, 0 titik potong sumbu-y 0, b Mx, y terletak pada garis xy akan maksimum jika M\\mathrm{\left \frac{a}{2},\,\frac{b}{2} \right }\ a = 4 dan b = 5 M\\mathrm{\left \frac{a}{2},\,\frac{b}{2} \right }\ M2, \\frac{5}{2}\ Jawaban B 8. UN 2008 Sebuah kotak tanpa tutup dengan alasnya berbentuk persegi, mempunyai voleme 4 m2 terbuat dari selembar karton. Agar karton yang diperlukan sedikit mungkin, maka ukuran panjang, lebar dan tinggi kotak berturut-turut adalah... A. 2 m, 1 m, 2 m B. 2 m, 2 m, 1 m C. 1 m, 2 m, 2 m D. 4 m, 1 m, 1 m E. 1 m, 1 m, 4 m Pembahasan Karena alas berbentuk persegi, maka p = l Volume kotak V = p. l. t V = p2t p = l 4 = p2t t = \\mathrm{\frac{4}{p^{2}}}\ Luas kotak tanpa tutup L = pl + 2pt + 2lt L = p2 + 2pt + 2pt p = l L = p2 + 4pt L = p2 + 4p\\mathrm{\left \frac{4}{p^{2}} \right }\ L = p2 + \\mathrm{\frac{16}{p}}\ Luas akan maksimum jika L' = 0 2p − \\mathrm{\frac{16}{p^{2}}}\ = 0 2p = \\mathrm{\frac{16}{p^{2}}}\ p3 = 8 ⇒ p = 2 ⇒ l = 2 t = \\mathrm{\frac{4}{p^{2}}}\ = \\mathrm{\frac{4}{2^{2}}}\ ⇒ t = 1 Jadi, ukuran panjang, lebar dan tinggi berturut-turut adalah 2 m, 2 m, 1 m. Jawaban B 9. UN 2009 Jumlah bilangan positif x dan y adalah 18. Nilai maksimum xy adalah... A. 100 B. 81 C. 80 D. 70 E. 72 Pembahasan x + y = 18 y = 18 − x Misalkan L = xy L = x 18 − x L = 18x − x2 L akan maksimum jika L' = 0 18 − 2x = 0 ⇒ x = 9 x + y = 18 9 + y = 18 ⇒ y = 9 Jadi, nilai maksimum xy = 9 . 9 = 81 Jawaban B 10. UN 2009 Seorang petani menyemprotkan obat pembasmi hama pada tanamannya. Reaksi obat tersebut t jam setelah disemprotkan dinyatakan dengan rumus \\mathrm{ft=15t^{2}-t^{3}}\. Reaksi maksimum tercapai setelah... A. 3 jam B. 5 jam C. 10 jam D. 15 jam E. 30 jam Pembahasan Fungsi reaksi ft = 15t2 − t3 Reaksi akan maksimum jika f 't = 0 30t − 3t2 = 0 3t 10 − t = 0 t = 0 atau t = 10 Jadi, reaksi maksimum tercapai setelah 10 jam. Jawaban C 11. UN 2010 Selembar karton berbentuk persegi panjang dengan lebar 5 dm dan panjang 8 dm akan dibuat kotak tanpa tutup. Pada keempat pojok karton dipotong persegi yang sisinya x dm. Ukuran kotak tersebut panjang, lebar, tinggi agar volume maksimum berturut-turut adalah... A. 10 dm, 7 dm, 1 dm B. 8 dm , 5 dm, 1 dm C. 7 dm, 4 dm, 2 dm D. 7 dm, 4 dm, 1 dm E. 6 dm, 3 dm, 1 dm Pembahasan Ukuran balok p = 8 − 2x l = 5 − 2x t = x V = plt V = 8 − 2x5 − 2x x V = 40 − 26x + 4x2 x V = 4x3 − 26x2 + 40x Volume akan maksimum jika V' = 0 12x2 − 52x + 40 = 0 3x2 − 13x + 10 = 0 3x − 10x − 1 = 0 x = \\frac{10}{3}\ atau x = 1 Untuk x = 1, maka p = 8 − 2x = 8 − 21 = 6 l = 5 − 2x = 5 − 21 = 3 t = x = 1 Jadi, volume akan maksimum jika panjang, lebar dan tinggi balok berturut-turut 6 dm, 3 dm, 1 dm. Jawaban E 12. UN 2011 Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya sebesar \\mathrm{\left \right }\ rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan tersebut habis dijual dengan harga untuk satu produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh perusahan tersebut adalah... A. B. C. D. E. Pembahasan ; Biaya produksi x produk + + 10x2 Biaya penjualan x produk Laba = Biaya penjualan − Biaya produksi Lx = − + + 10x2 Lx = − − − 10x2 Lx = −10x2 + − Laba akan maksimum, jika L'x = 0 −20x + = 0 ⇒ x = 200 Jadi, laba akan maksimum jika perusahaan menghasilkan 200 produk, dengan laba maksimumnya adalah L200 = −102002 + − L200 = − + − L200 = Jawaban C 13. UN 2012 Suatu perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya \\mathrm{\left 5x^{2}-10x+30 \right }\ dalam ribuan rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah... A. B. C. D. E. Pembahasan Biaya produksi x unit 5x2 − 10x + 30x Biaya penjualan x unit 50x kedua biaya diatas dalam ribuan rupiah Keuntungan = Biaya penjualan − Biaya produksi Ux = 50x − 5x2 − 10x + 30x Ux = 50x − 5x3 + 10x2 − 30x Ux = −5x3 + 10x2 + 20x Keuntungan akan maksimum jika U'x = 0 −15x2 + 20x + 20 = 0 bagi −5 3x2 − 4x − 4 = 0 3x + 2x − 2 = 0 x = \\frac{3}{2}\ atau x = 2 Jadi, keuntungan akan maksimum jika perusahaan memproduksi 2 unit barang, dengan keuntungan maksimumnya adalah U2 = −523 + 1022 + 202U2 = −40 + 40 + 40 U2 = 40 dalam ribuan rupiah Jawaban D 14. UN 2013 Sebuah taman berbentuk persegi dengan keliling \\mathrm{\left 2x+24 \right }\ m dan lebar \\mathrm{\left 8-x \right }\. Agar luas taman maksimum, maka panjang taman tersebut adalah... A. 4 m B. 8 m C. 10 m D. 12 m E. 13 m Pembahasan K = 2x + 24 = 2x + 12 l = 8 − x K = 2p + l 2x + 12 = 2p + 8 − x x + 12 = p + 8 − x p = 2x + 4 L = p . l L = 2x + 48 − x L = −2x2 + 12x + 32 Luas akan maksimum jika L' = 0 −4x + 12 = 0 ⇒ x = 3 p = 2x + 4 p = 23 + 4 p = 10 Jadi, panjang taman agar luas maksimum adalah 10 m. Jawaban C 15. UN 2013 Dua bilangan m dan n memenuhi hubungan 2m − n = 40. Nilai minimum dari \\mathrm{p=m^{2}+n^{2}}\ adalah... A. 320 B. 295 C. 280 D. 260 E. 200 Pembahasan 2m − n = 40 n = 2m − 40 p = m2 + n2 p = m2 + 2m − 402 p = m2 + 4m2 − 160m + 1600 p = 5m2 − 160m + 1600 p akan minimum jika p' = 0 10m − 160 = 0 ⇒ m = 16 n = 2m − 40 n = 216 − 40 ⇒ n = −8 p = m2 + n2 p = 162 + −82 p = 320 Jawaban A 16. UN 2015 Icha akan meniup balon karet berbentuk bola. Ia menggunakan pompa untuk memasukkan udara dengan laju pertambahan volume udara 40 cm2/detik. Jika laju pertambahan jari-jari bola 20 cm/detik, jari-jari bola setelah ditiup adalah... A. \\mathrm{\frac{1}{\sqrt{\pi }}}\ cm B. \\mathrm{\frac{1}{\sqrt{2\pi }}}\ cm C. \\mathrm{\frac{1}{2\sqrt{\pi }}}\ cm D. \\mathrm{\frac{2}{3\sqrt{\pi }}}\ cm E. \\pi\ cm Pembahasan Laju pertambahan volume udara \\mathrm{\frac{dV}{dt}}\ = 40 Laju pertambahan jari-jari bola \\mathrm{\frac{dr}{dt}}\ = 20 Volume bola V = \\frac{4}{3}\Ï€r3 \\mathrm{\frac{dV}{dr}}\ = 4Ï€r2 Dengan aturan rantai \\mathrm{\frac{dV}{dt}}\ = \\mathrm{\frac{dV}{dr}}\ × \\mathrm{\frac{dr}{dt}}\ 40 = 4Ï€r2 × 20 1 = 2Ï€r2 r2 = \\frac{1}{2\pi }\ r = \\sqrt{\frac{1}{2\pi }}\ r = \\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\ Jawaban B 17. UN 2016 Sebidang tanah akan dibatasi oleh pagar dengan menggunakan kawat berduri seperti pada gambar. Batas tanah yang dibatasi pagar adalah yang tidak bertembok. Kawat yang tersedia 800 meter. Berapakah luas maksimum yang dapat dibatasi oleh pagar yang tersedia? A. m2 B. m2 C. m2 D. m2 E. m2 Pembahasan Misalkan panjang area tanah p dan lebar l Area tanah yang akan dibatasi pagar adalah p + 2l Perhatikan bentuk pagar, karena kawat yang digunakan 4 baris maka 4p + 2l = 800 p + 2l = 200 p = 200 − 2l L = p × l L = 200 − 2l × l L = 200l − 2l2 Luas akan maksimum jika L' = 0 200 − 4l = 0 ⇒ l = 50 p = 200 − 2l p = 200 − 250 ⇒ p = 100 L = p × l L = 100 × 50 L = 5000 Jadi luas maksimum adalah 5000 m2 Jawaban D 18. UN 2017 Seorang petani mempunyai kawat sepanjang 80 meter yang direncanakan untuk memagari kandang berbentuk tiga buah persegi panjang berdempet yang identik seperti diperlihatkan pada gambar berikut Sisi di sepanjang gudang tidak memerlukan kawat. Luas maksimum kandang adalah ... A. 360 m2 B. 400 m2 C. 420 m2 D. 450 m2 E. 480 m2 Pembahasan Misalkan panjang kandang p dan lebar kandang l. Persamaan panjang kawat yang digunakan untuk memagari kandang p + 4l = 80 → p = 80 - 4l Persamaan luas kandang L = pl L = 80 - 4ll L = 80l - 4l2 Turunan pertama L terhadap l L' = 80 - 8l Luas akan maksimum jika L' = 0 80 - 8l = 0 80 = 8l l = 10 Jadi, luas akan maksimum jika l = 10, dengan luas maksimumnya adalah L = 8010 - 4102 L = 800 - 400 L = 400 Jawaban B 19. UN 2017 Sebuah tabung tanpa tutup yang terbuat dari lempengan tipis dapat memuat air sebanyak 27Ï€ cm2. Luas permukaan tabung akan minimum jika jari-jari tabung sama dengan ... A. 9 cm B. 8 cm C. 6 cm D. 4 cm E. 3 cm Pembahasan Persamaan volume tabung V = Ï€r2 t 27Ï€ = Ï€r2 t 27 = r2 t t = \\frac{27}{r^{2}}\ Persamaan luas tabung tanpa tutup L = Ï€r2 + 2Ï€rt L = Ï€r2 + 2Ï€r\\frac{27}{r^{2}}\ L = Ï€r2 + \\frac{54 \pi}{r}\ Turunan pertama L terhadap r L' = 2Ï€r - \\frac{54 \pi}{r^{2}}\ Luas akan minimum jika L' = 0 2Ï€r - \\frac{54 \pi}{r^{2}}\ = 0 kali r2 2Ï€r3 - 54Ï€ = 0 2Ï€r3 = 54Ï€ r3 = 27 ⇒ r = 3 Jawaban E 20. UN 2017 Sebuah akuarium tanpa tutup memiliki alas berbentuk persegi panjang dengan perbandingan panjang dan lebarnya 2 3. Jika luas permukaan akuarium adalah cm2, volume maksimum akuarium tersebut adalah ... A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 E. cm3 Pembahasan \\frac{p}{l}\ = \\frac{2}{3}\→ p = \\frac{2}{3}\l Persamaan luas akuarium tanpa tutup pl + 2pt + 2lt = \\frac{2}{3}\ll + 2\\frac{2}{3}\lt + 2lt = kali 3 2l2 + 4lt + 6lt = 5400 2l2 + 10lt = 5400 10lt = 5400 - 2l2 t = \\frac{540}{l}\ - \\frac{1}{5}\l Persamaan volume akuarium V = plt V = \\frac{2}{3}\l . l . \\frac{540}{l}\ - \\frac{1}{5}\l V = 360l - \\frac{2}{15}\l3 Turunan pertama V terhadap l V' = 360 - \\frac{6}{15}\l2 Volume akan maksimum jika V' = 0 360 - \\frac{6}{15}\l2 = 0 360 = \\frac{6}{15}\l2 l2 = 900 l = 30 Jadi, volume maksimum aquarium adalah V = 36030 - \\frac{2}{15}\303 V = - V = Jawaban D alas sebuah aquarium berbentuk persegi panjang dengan panjang 1 meter dan lebarnya 0,5 meter. jika bagian aquarium itu berisi air sebanak 200 liter maka tinggi aquarium adalah? P = 1 ml = 0,5 mV = 200 liter = 200 = 0,2 V = p x l x t0,2 = 1 x 0,5 x t0,2 = 0,5 x tt = 0,2 / 0,5t = 0,4 m

alas sebuah akuarium berbentuk persegi panjang dengan panjang 1 meter